ボラティリティ

ボラティリティ（volatility）とは

広義には資産価格の変動の激しさを表すパラメータ。 狭義には株価の幾何ブラウン運動モデル

dSt = S(t)(σdW(t) + μdt).....(1)

におけるσのこと。シグマ。

S(t)が株価を表す場合、時間の単位を1年単位にすると、 通常ボラティリティは 0.15 < σ < 0.60 の範囲にあることが経験的に知られている。

Volatility most frequently refers to the standard deviation of the continuously compounded returns of a financial instrument with a specific time horizon. It is often used to quantify the risk of the instrument over that time period.

ヒストリカル・ボラティリティ

株価の値動きがモデル(1)に従うと仮定し、過去の株価のデータから推定したσの値。価格の対数差分の標準偏差。 過去n日にわたって株価を観測したとし、Siを第i日の(例えば)終値とする。

ui=log[si/si-1) E(u)=uiの平均

と置くと

S = SQRT(Σ(ui-E(u))^2/(n-1)

がシグマの推定値となる。このような手続きによって推定された値をヒストリカル・ボラティリティという。

アップ率とダウン率

The up and down factors are calculated using the underlying volatility, σ and the time duration of a step, t, measured in years (using the day count convention of the underlying instrument). From the condition that the variance of the log of the price is σ^2t, we have:

u = EXP(σ √ｔ)
d = EXP(-σ √ｔ)=1/u.

日変動、月変動、年次変動

The annualized volatility σ is the standard deviation σ of the instrument's logarithmic returns in a year.

The generalized volatility σT for time horizon T in years is expressed as:

σT = σ√T 

Therefore, if the daily logarithmic returns of a stock have a standard deviation of σSD and the time period of returns is P, the annualized volatility is

σ= σSD/√P

A common assumption is that P = 1 / 252 (there are 252 trading days in any given year). Then, if σSD = 0.01 the annualized volatility is

σ = σSD/√P =0.01/√1/252=0.1587　.

The monthly volatility (i.e., T = 1 / 12 of a year) would be

σ month　=　0.1587/√1/12　　.